片対数 エクセル。 【Excel】エクセルでlogやlnなどの対数の計算を行う方法【自然対数・常用対数の計算】

高校生からわかる片対数グラフと両対数グラフを使うと直線になる理由

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こんにちは、ももやまです。 今回も行基本変形サークルの会長と一緒に記事を書いてみました! 会長からの挨拶 またまたこんにちは! 行基本変形サークル会長です! 今回は皆さん気になっているであろう片対数・両対数グラフについてうさぎさんと一緒にいろいろと説明していきたいと思います!! よろしくお願いします!!• 1.片対数・両対数グラフって? まず、片対数・両対数ですが、それぞれ「かたたいすう」、「りょうたいすう」と読みます。 「へんたいすう」とか読んじゃうと恥ずかしい思いをしちゃうので気を付けましょう。 それぞれ、片対数、両対数とか呼ぶことがありますが、基本的にそれは片対数グラフや両対数グラフなどの「グラフ」のことを指すと思ってもらって大丈夫です! (片対数・両対数グラフのことをまとめて「対数グラフ」と呼んだりもします。 ) まず、片対数グラフとは「 軸のどちらか片方が対数の軸となっているグラフ」のことです。 縦軸と横軸、どちらが対数軸でも良いのですが、私のイメージだと 縦軸が対数軸となっているグラフの方が多い気がします。 詳しくは後程のコーナーで説明します。 次に、両対数グラフとは「 軸の両方が対数の軸となっているグラフ」のことです。 片対数グラフ・両対数グラフのグラフ用紙はこちらのホームページに掲載されていたのでぜひご覧ください。 (今回片対数グラフの説明をするにあたって、神戸市立工業高等専門学校長谷研究室の片対数グラフを引用しています。 [アクセス日:2019年9月29日]) 今まで方眼のグラフに慣れていた方にとっては「なんだこれ…?」と思われる方もいらっしゃると思いますが、この軸に沿ってグラフを描くと、とってもいいことがあるんです! それでは、それぞれのグラフについて例を出しながら説明していきます! ちなみに対数軸の底は基本的に10、すなわち常用対数軸とする場合がほとんど(というかそれ以外を見たことがない)ですので、今回もそれに則ってやっていきます。 2.対数軸の読み方・プロットの仕方 片対数グラフはまず目盛りの増え方が異なります。 ということで、目盛りに数字を振ってみました! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, … 不思議な増え方をしていますね…。 片対数グラフの1つ上の目盛りが広く、1つ下の目盛りが狭くなっているのが 目盛りの間隔の変化のサインを表しています(この部分は必ず値が になります)。 親切なグラフ用紙なら太線になっていることもあります。 ところでなぜ対数グラフの目盛りは広かったり狭かったりするのでしょうか? 対数グラフは対数の軸でしたね。 ここで、1〜10 の値それぞれに をとって方眼紙と比較してみましょう。 すると、1と2の間隔は と の間隔、2と3の間隔は と の間隔、と等しくなっていますね! さらに から の値まで比べると方眼紙を使って片対数グラフを作ることができますね! もう1つ、 を境目に突然値の増え方が10倍になりましたね。 この仕組みを図とともにわかりやすく書いてみました。 同じ対数の底同士の足し算は真数同士の積で計算できますね。 そのため、 を境に値が10倍されるのです! ちなみに片対数グラフは 軸側だけ(もしくは 軸側だけ)が対数目盛ですが、両対数目盛は , 軸ともに対数目盛になっています。 3.片対数グラフについて みなさん、極寒の地でコーヒーを飲むことってよくあるじゃないですか?(ない) そんでもって、そのコーヒーを極寒に放置したらきっと急激に温度下がっちゃうじゃないですか?(それはそう) というわけで、ちょっと私が極寒にコーヒーを放置してきて1分ごとの温度を測定してきましたので、そのデータをまずは御覧ください。 79 1 85. 23 2 78. 07 3 71. 45 4 64. 33 5 60. 21 6 54. 72 7 51. 13 8 47. 75 9 43. 68 10 41. 65 と、本当に10分間でこんなに温度が下がっちゃうかはさておき、こんな感じで測定してきたのでとりあえずこれを「方眼の」グラフ用紙にプロットしてみますね! プロットしてみると、こんな感じになると思います。 0分目は最初の温度で、それから10分間1分毎に測定した結果をプロットしています。 ではこの結果、理論上どのような変化をしているのでしょうか? Excel先輩の近似曲線機能を使って、直線で近似してみるとこうなります。 まあ、こんなものか… って感じですよね。 ここで、温度変化を見てみると、最初の1,2分は10度近い温度減少が起きていますが、最後の9、10分のところなんか2度程度しか下がっていませんよね…? ということは、線形じゃなくってもっといい近似ができるのかも… 試しに指数関数で近似してみると、 わあ!! こっちの方がなんかしっかり来る!!!! そうなんです。 実は、理論上これは理論値線は指数関数の曲線になるんです。 ということで、このような 指数関数的な増減をするであろうものに対して有効であるのが片対数グラフなんです! 先程説明した通り、片対数グラフは 軸の片方が対数軸になっているグラフでしたね。 ちなみに、…, -3, -2, -1, 0, 1, …というような方眼で言うところの負の数については同じように常用対数 を考えると、 …, 0. 001, 0. 01, 0. 1, 1, 10, … と変化していくはずですね。 気づいた方もいるかもしれませんが、対数軸には 「0」という値は存在しません。 という値の が真数条件で必ず を満たさなければならないからですね。 ) ここまでしたら、理論曲線求める方法も何となくもうわかっちゃってますよね…? そうです。 最小二乗法です。 最小二乗法については詳しくは先日別枠で記事を書いてますのでそちらを見てください! ここまでしたら、理論曲線求める方法も何となくもうわかっちゃってますよね…? そうです。 最小二乗法です。 最小二乗法については詳しくは先日別枠で記事を書いてますのでそちらを見てください! ただし、今回は注意しないといけないことがあって、時間を 軸、温度を 軸に取っているのですが、縦軸は常用対数軸なので、実際は というデータをプロットしているのですが、見た目的には というデータをプロットしていることになります! つまり、最小二乗法に使う温度のデータも いったん常用対数を取ってあげないといけません… というわけで、使うデータはこんな感じになります。 :時間 :温度 0 1. 976763 1 1. 930592 2 1. 892484 3 1. 854002 4 1. 808414 5 1. 779669 6 1. 738146 7 1. 708676 8 1. 678973 9 1. 640283 10 1. 619615 せっかくなので、 の分散 と , の共分散 、そして , のそれぞれの平均 , から傾き と切片 を求めてみましょう。 見た目の話なので、本当にこれで正しいのか疑問に思う方もいるかと思いますので、これを指数関数の式に戻すことを考えてみましょう。 実際にこの関数に を0から10まで代入してみます。 そして、もともとの実測値と計算により導出した理論値の差(誤差)を比較してみましょう。 このようになります。 はじめの方は少し誤差が大きいですが、底を10とした指数関数の近似だとこれが最も理論値に近い曲線になるということですね。 が2より大きいと、誤差も小さく、無視できるようなものになりますね。 以上、長くなってしまいましたが「片対数グラフ」についてです。 4.両対数グラフについて 続いて、両対数グラフについて説明していきます! 基本的には片対数と同じことをするのでこちらはさくさく説明していきますよ~ 今回は先に結果から見ていきましょう! 両対数グラフでは、両方の軸が常用対数軸ですのであるデータをプロットしたいときに、本当は というデータなのですが、両方に常用対数をとった というデータを両対数グラフにプロットしていくことになりますね。 つまり、両対数グラフを用いることでグラフがきれいな直線となるのは データがべき関数的な増減をしそうなときです! べき関数とは、簡単にいうと のような関数で、 のなんとか乗(このなんとかは別に自然数じゃなくても実数でもなんでもいいです)というやつです。 じゃあ、試しに車の制動距離について調べてみましょう。 自動車学校に通っていたみなさんならわかると思いますが、制動距離とは 「車がブレーキをかけ始めてから完全に静止するまでに移動する距離」 のことですね。 (ちなみに、運転手がブレーキを踏もうとしてから実際に踏むまでに車の移動する距離のことを「空走距離」と言います。 この空走距離と制動距離を合わせて停止距離と言います。 これ車校のテストむちゃくちゃでますよ!!!) 車の速度と制動距離のデータはだいたいこんな感じみたいです。 線形近似してみますと こんな感じ。 これはあまりにも不格好というか、そもそも原点も通らないですね… まあわかっていると思いますが、この近似はよろしくありません。 こちらは指数近似。 先ほどの「片対数」グラフは指数近似でしたが、今回は「べき関数」に近似しますのでこちらもやはり不適切ですね。 横軸の数値が大きくなっていくほど誤差が大きくなっています。 出会ったころはいい子だと思ってたんだけど、だんだん本性でてきてやべぇやつになっちゃった子みたいですね。 よくわかりませんけど。 さあ、お待たせしました。 べき関数で近似してみましょう。 おお!!これだよこれこれ!!! みなさんそう思いましたよね…? やっぱり、この関係はべき乗で近似してよさそうですね!! はい。 長すぎる茶番にお付き合いいただきありがとうございました というわけで、 軸と 軸を両方常用対数軸にしてグラフを描いてみると、こうなります。 お見事。 ちゃんと線形っぽく並んでいますね。 これならグラフも綺麗に書けそうです。 というわけで、直線的な関係になったということは、元の理論曲線がどんな関数かも導出できるってことですね…??? もう、何をするか皆さんおわかりですね…??????? そうです。 最小二乗法です。 ですが、今回は両軸が常用対数軸ですので、xとy、両方に常用対数を取ってから最小二乗法を適応させてあげなければいけません。 というわけで、さっそく常用対数を取ってみるとデータはこんな感じになります。 1256 X - 2. きっと、これが車の制動距離をデータから導出した理論値曲線なはずですね! 実際にxに20から100までの値を代入して、その誤差を確認してみましょう。 こんな感じになります。 まあ妥当なものでしょう。 5.Excel上で片・両対数版の最小2乗法を計算させる では、Excelで片対数、両対数の最小2乗法の曲線の傾きと切片を求める方法についてまとめていきます。 まず、求めたい曲線の傾きと切片のデータを選んでから散布図を表示させてから線をクリックし、「近似直線の追加」を選択してください。 わからなければこちらのほうに図を使ってわかりやすく説明しているのでこちらをご覧ください。 1 片対数グラフの回帰曲線を求める場合 片対数グラフの回帰曲線 の , の値を求める場合、近似曲線のオプションで「指数近似」を選びましょう。 (数字の表示桁数は各自で調整しましょう。 ) しかし、底が 10 ではなく になってしまってます。 なので直しましょう。 2 両対数グラフの回帰曲線を求める場合 両対数グラフの回帰曲線 の , の値を求める場合、近似曲線のオプションで「累乗近似」を選びましょう。 (数字の表示桁数は各自で調整しましょう。 ) 6.さいごに はい、結局長くなってしまいましたが片対数・両対数グラフの対数グラフについてその書き方やもともとの理論曲線、さらにどんなときにその対数グラフを用いるのが有効かなどについて説明していきました。 実は、私は大学の実験の授業の最初に提出したレポートでしかまだこの対数グラフを描いたことがないのですが、人によってはこれからじゃんじゃん使っていくようになる人もいると思いますのでこれを気に是非とも覚えてください! それと、理論曲線を求めるのにもやはり「最小二乗法」は欠かせない存在なのでそちらも忘れずセットで必ず覚えておいてください!!! 以上、長くなりましたが今回は片対数・両対数グラフについて説明していきました! もしかしたらまた違う記事でも登場するかもしれないのでその時はよろしくお願いします!! それでは!!!!.

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Contents• 片対数グラフ まず片対数グラフを使って直線になったものを見てみましょう。 見てお分かりの通り、y軸は対数表示になっていますし、どう見ても直線になっていますよね。 不思議だな~って思うのですが全然不思議でもなんでもありません。 縦軸が対数表示ではなく、 もともとの表示ならどうなっているのか を見るとどうなっているのかがわかります。 下図がもとのグラフ(対数を使わないグラフ)です。 こんな感じです。 全然直線ではありませんよね。 そのような関係性にあるものは何かというと 指数関数です。 例えば、下記のような関係式が成立しているような場合などが当てはまります。 両対数グラフ 次は両対数グラフについて説明したいと思います。 今度は 両方の軸が対数になっています。 そしてお分かりの通り直線になっています。 では、上図のグラフはもともとどんなグラフであったか見てみましょう。 「なんだこれは?」となりますよね。 このグラフは一体どんな関係式を表しているのでしょうか。 そのような関係性にあるものは何かというと べき関数です。 例えば、下記のような関係式が成立しているような場合などが当てはまります。 ここで何をしたかと言いますと、• これが 両 対数グラフにすると直線になるカラクリです。 ・解析力学• ・流体力学• ・熱力学• ・量子統計• ・CAE解析(流体解析)• noteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を日々書いています。 また、「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。 youtubeではオープンソースの流体解析、構造解析、1DCAEの操作方法などを動画にしています。 Qiitaではプログラミング言語の基本的な内容をまとめています。 カテゴリー• 4 Twitter.

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その後、このグラフの形状から、さらに、片対数や両対数にプロットしたりして数式を予想し、数式により、両者の関係を定量的に表すことになる。 こうすることによって2つの量の関係が明確になる。 最近は、表計算ソフトを使い、パソコン上でグラフ等を作製することがほとんどで、手書きのグラフなど作成しないが、グラフを作成する基本的な知識は必要であると感じている。 パソコンがまだ普及していない頃,学生実験や計測工学のノートから抜粋したものを紹介する。 1 グラフに表す方法 2つの量を両軸に取り、測定値を表す点を方眼紙にプロットする。 そしてそれらの点の関係を最もよく適合する直線や曲線を引く。 縦軸と横軸の目盛りの取り方であるが、理想的には、測定値の有効数字の最後の桁の1が方眼紙の1目になるように選ぶべきである。 しかし実際の場合は不可能な場合が多いが、有効数字全部を表現できるように心がけるべきである。 5mm〜2mm程度が適切とされている。 これ以下にすると、論文が雑誌などに印刷されるとき、縮小されるのが普通であるので見にくくなってしまう。 学会誌などで発表されている論文の図面を見習って学習した方がよい。 目盛りの数値は等間隔に取る。 5mm〜2mm程度 3 線や曲線を引くときはマークのデータの平均位置を通るように定規、雲形定規、自在定規などを用いて引く。 4 縦軸と横軸の名称、変数名、括弧の中に単位を必ず記載する。 縦軸の描く方向に注意 5 その他 ・ 細線と太線を使い分けることにより、見やすいメリハリのきいたグラフとなる。 ・ 手書きで描かなければならないときは、マークや数字はテンプレートを使う。 ・ 目盛数値文字と軸名称文字の大きさを変えると見やすくなる。 従って、対数目盛の数値のところに点を取れば、常用対数の値になっている。 6990になる。 B点は log40 である。 片対数は縦軸、横軸の目盛り方がどちらか一方が対数目盛であり、両軸とも対数軸の場合は両対数と言っている。 プロットした結果、点が直線になれば、 6 式の指数関係が成り立つことになる。 両対数用紙目盛りの例 2. aは直線上の1点の座標 x 1,y 1 を読み、 2 から得られる。 ばらつきがある場合、透明な定規で線の両側に点が平均的に分布するようにあてがい、線を引く。 図2 表1 作動トランスの変位と出力電流 表1は、変位の測定に用いる作動トランスの変位x mm に対する出力電流I mA の関係で、測定値をプロットすると直線が得られた 図3。 図3の場合、作図した直線上の2点を読み、式 3 に代入し、a,bに関する方程式を作り、これを解いて、 a、bの値を得る。 表1のxとIの和 を計算する。 次に、2群との差を取り、bを消去する。 785が得られる。 次にxの総和にaを掛けて、積をI の総和から引けば、差は8bになる。 02が得られる。 02 5 をうる。 簡単な割には精度が良く係数を決定することができる。 2つの量の間の関係が、常用対数を取ったとき直線的な関係にあるとき前式が当てはまる。 両対数グラフ用紙にプロットすると直線が得られる。 nが正ならば、一般に放物線型、負なら双曲線型となる。 この場合も両辺の対数をとり 次のように置き換える。 yを対数に、片対数グラフ用紙にプロットすると直線になる。 他の関数の場合と同様に、A,Bを決定する。 次に述べる最小二乗法で求めても良い。 式 9 にそれぞれのデータを代入する。 10 式 10 を観測方程式という。 式 10 は未知数はa, b2つで、方程式はn個であるので満足するa, bは存在しない。 変位xIにも実際は誤差がはいるが、ここでは誤差がないものとして、電流I 1, I 2, ----, I n の 誤差を、それぞれ、z 1, z 2, ----, z n とすると 11 が得られる。 a, b の値は未知であるので、 a, bを変数として、誤差の二乗の和S 12 を最小になるように決定するのが最小二乗法の考え方である。 Sが最小の時、Sをaとbで微分した値が0であるので次式が成り立つ 13 式 12 をaとbで微分すると 14 15 更に式 15 変形すると、 16 となる。 更に式 16 変形すると、 17 18 19 20 式 19 と式 20 はa, b に関する連立方程式であるからこれを解くと 21 が得られる。 最新のExcelは使用したことがありませんが、上記表の値を計算して、下の数式に代入した方がVBAを使うより簡単で良いと思います。 Excelの計算に不慣れな方はを参考にして下さい。 VBAによる最小二乗法のマクロ処理例はを参考にしてください。 01 が得られる。 現在はExcelを使うとa, b の計算は簡単にできる。 さらに,VBAによるマクロ処理を行えば,マウス・ワンクリックで計算が可能になる。 表4 *有効数字は考慮していない。 5917= 1. 986 となる。 図6は、片対数グラフ用紙にプロットした場合であるが、直線となることから、 で表される。 このx,yの式に最小二乗法を適用する。 イラストレーターでは可能である。

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